La derivada

Es una función continua con respecto a una variable el incremento de la función delta y es dividido entre delta x el limite del cociente.

delta y / delta x= delta x-0

La derivada es una tasa de cambio promedio, se aplica para el cálculo de una tasa de crecimiento, una población, de la velocidad o del tiempo que se propaga una batería, inflación monetaria, el crecimiento de una razón de cambio de moneda.

Derivada del producto

Fórmula:

f´(x)=ab´+ba´

f´(x)=(4x-7)(5x2+2) a= (4x-7) b=(5x2+2)

f´(x)=(4x-7)(10x)+(5x2+2)(4)

f´(x)=40x2-70x+20x2+8

f´(x)=60x2-70x+8

La derivada de un cociente.

La fórmula para derivar una función cociente es f´(x)=ab´-ba´/b2

Ejemplos:

g (x)= x-3/x2-5 a= numerador x-3= a´=1 b= denominador x2-5=b´=2x

g´(x)=(x2-5)(1)-(2x)(x-3)/(x2-5)2

x2-5=2x2-6x

x2-6x-5/(x2-5)2

La regla de cadena

Esta regla es útil cuando se tiene una función formada por un polinomio elevado a una potencia, como por ejemplo: f(x)=(2x3+3)5

Si "u" es el polinomio

La función : f(x)= u h

solución:

f(x)=(2x3+3)5

f(x)=5(2x3+3)4 6x2

f(x)=30x2(2x3+3)4

La parábola

Parábola con vértice en el origen.

Esta parábola tiene cuatro ecuaciones diferentes dependiendo de hacia donde abra.Para utlizar estas fórmulas es necesario tomar el valor de a como positivo, para saber hacia donde abre la grafica, basta con ver la esctructura de esta y en caso de ser la ecuación de forma seria necesario convertirla despejando el remino cuadratico.

Para encontrar el valor de a es necesario igualar a 4ao -4a con el número que este al lado del término, no esta elevado al cuadrado y despejar a.

Cuando no se da la fórmula pero se da el foco basta con fijarse que valor tiene el número que no es cero y ese valor aplicado como a y de ahí determina hacia donde abre fijandose si a esta en el punto de x o de y , y sie s positivo o negativo.

Cuando se da solo la directriz basta con fijarseque valor tiene el número que no es cero y ese valor aplicado como a y de ahi determina hacia donde abre fijandose si esta en el punto x o de y y si es positivo o negativo.

Cuando se da la longitud del lado recto y la abertura solo hay que sustituir el valor del lado recto en lugar de 4a en la fórmula correspondiente conservando el signo que tenga la ecuación.

Para hacer la gráfica de la parábola con centro en el origen hay que hacer lo sig:

Marcar el punto del origen como el primer punto

Marcar el punto del foco que muestra hacia donde abrirá la grafica.

Graficar los puntos extremos.

Marcar el punto de la directriz(este punto no es perteneciente a la parábola).

Parábola con vértice (h,k)

Esta parábola es similar a la que tiene centro en el origena diferencia de x y y tiene los puntos h y k y también tiene 4 ecuaciones diferentes dependiendo hacia donde abra.

Las figuras cónicas.

Las figuras cónicas o secciones cónicas son las figuras geométricas que se obtienen cuando se interseca un cono circular recto de dos mantos de un plano . La ecuación ordinaria reducida de la circunferencia es: (x-h)2+(y-k)2=r2.

a) Caso 1: Encuentra la ecuación de una circunferencia que tiene el centro en el origen y un radio de 5.

c= (0,0) (x-0)2+(y-0)2=52

r=5 x2-0+0+y2-0+0=25

x2+y2=25

b) Caso 2: Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (-4,3) y radio 5.

(x-h)2+(y-k)2=r2

(x-(-4)2+(y-3)2=52

(x+4)2+(y-3)2=25

x2+8x+16+y2-6y+9=25

Junto terminos.

x2+y2+8x-6y+16+9=25

x2+y2+8x-6y+25-25=0

x2+y2+8x-6y=0

c) Caso 3: desarrola laecuación de la circunferencia que paso por el punto (4,-5) cuyo centro es (6,-4)

(x2-x1)2+(y2-y1)2=d

(4-6)2+(-5+4)2=d

(-2)2+(-1)2=d

d=5 d=r2 raiz de=5

(x-6)2+(y+4)2= raiz de 52

x2-12x+36+y2+8x+16=raiz de 52

x2+y2-12x+8x+36+16=5

x2+y2-12x+8x+52-5=0

x2+y2-12x+8x+47=0

d) Caso 4: encontrar la ecuación de la circunferencia. Si los extremos de sus diametros sonlos puntos P(6,2) Q(-2,-4)

r2=(x-h)2+(y-k)2

1° usariamos x1+x2/2=Pmx y1+y2/2=Pmy

2° calculemos el valor de la distancia entre pm y p extremo de la circunferencia.

r2=(6-2)2+(2+1)2

r2=(4)2+(3)2

16+9=25 r2=25 raiz de 25 = 5

3°(x-2)2+(y+1)2=raiz de 25"

x2-4x+4+y2+2y+1=25

x2+y2-4x+2y+4+1-25=0

x2+y2-4x+2y-20=0

d)Caso 5: encuentra la ecuacion de la circunferencia cuyo centro es el punto c (10,-5) y es tangente a la recta 4x+3y-50=0.

D=Ax+By+C/raiz A2+B2

D=4(10)+3(-5)-50/raiz 42+32

D=40-15-50/raiz 16+9

D=40-15-50/raiz 25

D= -25/raiz 25

D= 25/5 D=5

(x-h)2+(y-k)2=r2

(x-10)2+(y+5)2=52

x2-20x+100+y2+10y+25=25

x2+y2-20x+10y+100+25-25=0

x2+y2-20x+10y+100=0